뮌하우젠 수

Münc(h)hausen[1] number / Münc(h)hausen 數

음이 아닌 정수 $n$과 $i$, $\lfloor{\rm{log}\;n}\rfloor=k$를 만족시키는 $k$, $0\leq a_i\leq 9$인 정수 $a_i$에 대하여

[2]
을 만족시키는 정수 $n$을 뮌하우젠 수라고 한다. 쉽게 말해 십진법으로 나타낸 정수에 대하여, 각 자리를 그 자리 번 거듭제곱한 결과를 모두 더하면 자기 자신이 되는 정수가 뮌하우젠 수라는 뜻이다. 본래 $0^0$은 정의되지 않지만, 뮌하우젠 수에서는 $0^0=0$으로 정의하여, 숫자 0을 포함하는 수도 뮌하우젠 수가 되도록 한다.

정수 $n=\displaystyle\sum_{i=0}^k 10^i a_i$에 대하여 $S(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^k {a_i}^{a_i}$으로 놓으면


곧, $n$이 $m$자리 수일 때, $S(n)$이 최대한 커지려면 $m$자리 정수 $n$의 모든 자릿수가 $9$여야 하기에 $S(n)$의 최댓값은 $9^9m$이라는 말이다.

이때 자연수 $m$에 관한 지수방정식 $9^9m<10^{m-1}-1$의 해는 $m\geq 11$이다. 풀이

이는 11자리 이상의 정수는 무조건 $S(n)<n$이라는 뜻이다. 다시 말해서 $n\geq 10^{10}$인 정수 $n$은 $S(n)=n$이 될 여지가 없으므로 뮌하우젠 수가 아니다.

한편 $S(n)$은 $0$ 또는 양수의 양수 거듭제곱들의 합이므로 음수가 될 수 없다.[3] 따라서 음수는 뮌하우젠 수가 될 수 없다.

음수와 11자리 이상의 정수가 뮌하우젠 수가 아니라는 사실은 뮌하우젠 수의 개수가 유한함을 함의한다. 따라서 $10^{10}-1$ 이하의 음이 아닌 정수 $n$에 대해서만 계산을 실행해 보면 모든 뮌하우젠 수를 찾아낼 수 있는 셈이다.

원칙적으로 뮌하우젠 수는 $1$과 $3435$밖에 없어야 한다.

$1=1^1,\;3435=3^3+4^4+3^3+5^5$

그러나 $0^0=0$으로 정의한다면 $0$과 $438579088$도 뮌하우젠 수가 된다.

$0=0^0,\;438579088=4^4+3^3+8^8+5^5+7^7+9^9+0^0+8^8+8^8$

최종적으로, 뮌하우젠 수는 $0$, $1$, $3435$, $438579088$ 딱 네 개밖에 없다.

여기에서는 딱 한 자리의 값이 달라서 뮌하우젠 수가 되지 않는 수를 적는다. 단, 다음을 주의한다.

$a_n=10^n+32$($n\geq 2$)라 하면 $a_2=132, a_3=1032, a_4=10032,\cdots$가 된다. 그러면

따라서 $a_n-S(a_n)=10^n$이다. 다시 말해서, 자연수 $a_n$은 $S(a_n)$과 $10^k$의 자리만이 다르다는 뜻이다. 그러나 엄밀히 말하자면, $a_n$의 값에 관계없이 $S(a_n)=32$인데 이 $32$는 십의 자리와 일의 자리만을 갖고 있기 때문에 $n\geq 2$인 이상 '무슨 자리가 다르다'라고 얘기할 수조차 없다. 자리가 있어야 얘기를 하든 말든 할 것 아닌가. 이러한 이유와 함께, $10^n+32$($n\geq 2$) 꼴의 자연수는 무수히 많으므로 아래의 목록에는 적지 않는다.

한편, 이런 수들 중에서는 $18574367$과 $18577465$처럼 자리의 값이 서로 유사한 수들이 많다.